David Wineland

Superposition, Entanglement, and Raising Schroedinger's Cat

Category: Lectures

Date: 1 July 2013

Duration: 30 min

Quality: HD MD SD

Subtitles: EN DE

David Wineland (2013) - Superposition, Entanglement, and Raising Schroedinger's Cat

In 1935, Erwin Schrödinger, one of the inventors of quantum mechanics, illustrated his discomfort with the theory by pointing out that its extension to the macroscopic world could lead to bizarre situations such as a cat being simultaneously alive and dead, a so-called superposition state

It’s a great pleasure to be here of course and I’m looking forward to meeting with the students. Obviously it was a great thrill to receive the Nobel Prize with Serge Haroche. And what I’m going to tell you about here is maybe completely on the other end of the spectrum of what you heard from Brian Kobilka this morning. Here we’re dealing with extremely simple systems but we’re trying to control them with high precision. So I can start maybe with this example of Schrödinger’s cat. And one of the interesting things to me is that Schrödinger, one of the inventors of quantum mechanics, in thinking about the consequences he became uncomfortable with the theory because basically the theory by itself just describes continuous evolutions of systems. And the way he expressed his discomfort with this is that in principle although we can really only apply, in practice apply quantum mechanics to relatively small simple systems. In principle it should apply to very large systems. So his way of expressing his discomfort was this idea of this example he posed where a cat is inside of a sealed box so it can’t interact with the rest of the world. And also in the box is, say, a single radioactive particle. And if the radioactive particle decays it will trigger some mechanism which releases poison and kills the cat. And basically in principle you could write down equations, the quantum-mechanic equations, that describe this situation. And all quantum theory tells us is that after one half-life of the particle the cat is neither dead nor alive, it’s dead and alive at the same time. And of course this is a very strange situation. But anyway this case of these simultaneous existences of states is commonly called superposition. So there’s actually a simple analogue which I like which gives the flavour of superposition. And from this... If you look at this image of a cube, sometimes you’ll see this face here be in the foreground. Or you might see this face be in the foreground. And this is very similar to superposition in the sense that as you tend to see either one situation or the other. But in some sense it has both, possesses both properties at the same time. And I think this is a good analogy to superposition that it’s neither one nor the other. It’s both when you see them in that perspective there. The other interesting thing about this example I think is that it exhibits in a nice way the idea of quantum measurement. That is where we learn in our quantum mechanics classes then when we measure a system we project or collapse a superposition state in one configuration or the other. So when you tend to see one of these 2 perspectives, that’s very much like measurement and quantum mechanics. And coming back to Schrödinger’s example. So, quantum mechanics would predict this superposition state. And this is... It was dubbed a tangled superposition in that the state of the cat is correlated with the state of the particle being un-decayed or decayed. And this was given this name of entanglement where you get these correlations or these systems. And one thing that’s interesting at least on the small scale is that we can show that these correlations exist even when the constituents are separated by large distances where they can’t communicate in a relevant time scale. But that’s a little bit aside from what I’m going to talk about here. One of the ways that Schrödinger was bothered by the consequences if you scale quantum mechanics to large scale. And in the ‘50s he posed one way out of this. And at that time he could say: “Well, we never really experiment with just one electron or atom or molecule. And we do in thought experiments.” So as these thought experiments extended from small systems up to the macroscopic world like cats. But maybe basically I think that what he’s saying here is maybe we’re leading ourselves astray by thinking about the simple system because if we scale it up, it leads to these ridiculous consequences. But of course we’re now able to enter this world where at least with small systems we can play these games of superposition and entanglement. And as I say we’re only able to do this with very small systems. But eventually maybe we can go to much larger systems. And what I’m going to describe here is just kind of a very narrow perspective. I’m going to talk about the work at our institute, the National Institute of Standards and Technology. But certainly this is the work of many other groups around the world. And you’ll hear a different perspective from Serge Haroche on some very similar application of these ideas. So let me... I won’t have time to describe all the techniques we use. But let me give you an idea of what we can do. In our experiments we use typically singly ionised atoms. And one example is beryllium. And we put it in a trap, an electromagnetic trap. And what you can think of is just like a marble in a bowl. And one situation we can realise is where we... for different internal states of the beryllium ion which we can just assign these labels. They do have magnetic moments so we can talk about a spin. So we can associate at some instant of time where this atomic marble... It can be, say, on the left side of the bowl correlated with the internal state being in one position and then simultaneously on the right side of the bowl correlated with some other internal state. And so we can actually realise these situations. And what we want to say is: Obviously it’s not very, it’s not really macroscopic. In fact it’s very small. And these experiments... The wave packet size of that describes the position of the beryllium atom as in the order of 7 nanometres in this experiment. And with these separate parts of the wave function were only separated by about 10 times the size of the wave packet. And you might argue: Well, this isn’t really Schrödinger’s cat. It’s just too small. But one of the interesting things about quantum mechanics, if you say, you know, this is too small to be called macroscopic classical, where do you make that dividing line? And this is something we continue to struggle with. At this point there’s no way to find this classical and quantum barrier. So in some... even though it’s very small, we would say it has very similar properties, analogues properties to Schrödinger’s cat. And I’ll come back to that in just a little bit. So as I mentioned in the abstract a couple of applications of these ideas of superposition might be in clocks. And I’ll say a little bit about quantum computers. For the clock application what you can think about is that for example if we have an electric dipole transition in an atom and if we put the atom in a superposition state, -this would be a ground S state and a P, excited P orbital- then we get a wave function that we can write down as I’ve indicated there. Now in fact this... What this describes then is an oscillating dipole. What I’ve written here or shown here in this view is a plot of the electron density versus time oscillates back and forth. So it’s very much like a pendulum clock. And we can utilise this property in fact to make a clock which I’ll say a little bit now here. So in fact the practical mode of operation when we make an atomic clock is that in this example here we would start the atom in the ground S state. And then we would apply radiation at a frequency. Say, this would be a laser transition where it’s very close to this transition frequency here. And then what we do is we would measure after applying this radiation. We would measure the probability that the atom has gone from this ground state to this excited state. And so this is closer to what we do in practice. We follow this protocol here. And when the laser frequency in this example is equal to this transition frequency which is given by the energy difference divided by Planck’s constant, when that transition probability is maximised, then we know that the laser frequency is in synchronism with the natural frequency of the atom. And I’ll come back... I just want to keep on this theme of superposition. Before we do the measurement, in general the atom is in some superposition of its ground and excited state. So why atomic clocks? And there’s some simple reasons that convince you why that’s interesting. Basically all atoms are given ions... aluminium ions, or beryllium ions, magnesium ions, any of the given species are exactly identical. So if we can agree on a transition to make an atomic clock, in principle they should run at the same rate independent of a comparison. Now of course in the experimental challenges that we’re always stuck trying to... with environmental effects that we have to calibrate out. So that’s the real challenge. And the other thing of course as opposed to pendulum clocks: Atoms don’t wear out. They can be used over and over again without hurting their properties. So these days what we’re focusing on is using optical transition and one example here is for aluminium where the transition frequency is about 10^15th Hz. And the reason the high frequency is interesting is basically: With the higher tick rate you can define any time interval into finer and finer steps. And so you get higher time resolution that way. And the other thing is interesting is that some transitions including aluminium... the lifetime of the excited state is about 20 seconds. And we can get resolutions down to about 1/10 Hz which defines very precisely then this condition where the laser is tuned... laser frequency is tuned to the atomic transition frequency. So I’ll give you another example here. We started out in our lab working on mercury ions. That has a similar transition that could be used as a clock. The way we detect these transitions is actually very simple. We’ll find some other transition in the atom. In this case this is one that can... we can scatter a lot of photons. And the basic idea is after applying this clock radiation, if we’re off resonance and the atom remains in the ground state, and then we see fluorescence. On the other hand if we’ve promoted it to the excited state, then there’s no state for the laser photons to scatter off of. And so this is nice because even with a single atom we can easily discriminate when the atom has made a transition when it’s dark. When we don’t see fluorescence that means it’s promoted to the excited D state in this case. And when we see fluorescence that means it hasn’t made the transition. And of course as I say we can use this then as a reference in the clock. So an example from our lab is the following. Jim Bergquist who... we started this project in 1981. And we’re still working on it. Just some of the advantages of using ions. I haven’t described at all. But we do... First of all just the fact that we’re holding the ions in one location means that on average the velocity goes to 0. So one measurement effect we have to worry about is the so-called first-order Doppler effect, the usual Doppler effect you’re thinking about. And since the average velocity is 0 that tends to go to 0. And I haven’t described laser cooling as a technique. And a lot of atomic physics experiments where we can use radiation pressure from lasers to cool the temperature of the ions down. And the reason that’s important is because of the consequences of Einstein’s theory of relativity for moving objects, time moves slower. And this has a small effect on any scale we’re used to. But we’re at such high precisions now that we do have to worry about that effect. And by doing this laser cooling we can suppress that time relationship. There’s many other things we have to worry about. And I won’t go into that. But anyway the result of this work was that in around 2006 the standard that defines the second is a hyper fine transition in caesium. And of course it kept getting better over the years. So it was a moving target. At this time then finally we could get to a systematic uncertainty of about 7 parts in 10^17 which was better than the existing caesium standards. So, these days most standards labs are thinking in terms of these optical transitions where you can get very high precisions and very high accuracies. And as I mentioned this is an example from our lab. There’s other ions people are thinking about. This article here summarises that work. And of course at the same time there’s many experiments using neutral atoms, trapped neutral atoms. So there’s a huge number of labs around the world working on these atomic clocks based on atoms or in this case atomic ions. So let me say a little bit about this idea of quantum computing. The basic... again relies on superposition. As opposed to a classical bit which can exist in one state or the other we’re going to play on this idea that in this case a quantum bit which we’re changing the labels here... these could be energy levels in the atom that we can... in some sense it can be both in the 0 and the 1 state at the same time. That is both pieces of information at the same time. And where that might be interesting then is in this... is if you think how it scales. So for example if we have 3 qubits in a classical register that could hold 1 number. But in the superposition sense we can hold all 8 numbers at once for these 3 qubits, quantum bits. So that’s 2^3. And of course you see this has exponential scaling. And kind of an interesting example: If we had 300 bits and that might store line of a text in a classical computer but in this superposition stance it will store 2^300 or about 10^90 decimal numbers simultaneously. And if we had to make a memory that would hold that much information, a classical memory, it would take more matter than there exists in the universe to do that. So that sounds pretty good. The other thing is that if we make a superposition state, the operations that we perform, they act on all these numbers simultaneously. So in some sense we have this massive parallel processing. That sounds pretty good too. Now the catch is that coming back to the example of the box and the different perspective. When we measure a quantum system... For example if we measure the superposition of 3 bits. When we measure the system it collapses down just to one of these configurations. So we have to design... a useful algorithm is one where we want to make most of these coefficients before we do the measurement and after the computation. We want to collapse down the state to at least a very number of possibilities. And so one example where that might be possible is Shor’s factoring algorithm. I’m not telling you the history. There’s a lot of interesting history behind these ideas of quantum computation. But the thing that really set it off was an algorithm that Peter Shor came up with to factorise large numbers. And the reason that’s important, because it affects encryption. So you can imagine all the government agencies are interested in that. So let me give you an idea. Just to give you some comparison with classical computing. Although it may not be the most efficient way. In principle you could construct a universal classical computer just composed of 2 gates. And there’s other combinations. But those would be 2 examples. In the quantum world it’s also true. We need 2 operations as opposed to just a bit flip. We need something more general. So for the chemists here... you think of NMR, where you’re able to rotate the spins by various angles. These are the kind of operations we’re talking about here. You also need some sort of non-trivial logic gate. In this case here where if we act on Eigenstates of the system... Of course we could reproduce this classically with a classical electronic chip. But in this case remember that we’re thinking of this working on superpositions. So actually Peter Shor’s algorithm is very involved. It’s very interesting. But it takes a long time to describe. But nevertheless the basic feature, the way it could be implemented is basically you have some input register. And you actually start out with the superposition of all possible numbers up to the number you’re trying to factorise. And then you would perform a series of these rotations in these 2 cubic gates. At least this is one form of how you could do computing. And then at the end you have some superposition here. But what you can think about this is... it’s kind of like a complicated interference experiment where all these possible states that the atoms might be, they interfere in such a way that you still end up with a finite number of states not much smaller than 2^N. But you still end up with a very large number of states. But the state that you measure could be used in a classical algorithm to extract the factors of a number. So this is the basic idea. And of course just even to factorise 150 digit decimal number which probably isn’t interesting to the coding people these days, you have to at least to get to there. But it would require a huge number of operations and tens of thousands of qubits. And we’re not anywhere close to that right now. But one thing to say at this is, coming back to this idea of Schrödinger’s cat. At some intermediate time in these operations you could say just single out the ‘i’ bit. And in this case then it looks very much like Schrödinger’s cat. Because all this collection of the other bits would be in substantially different states much like Schrödinger’s cat. So this is kind of why we talk about raising Schrödinger’s cat. This is the kind of thing we’re aiming for. So in the circumstance of atomic ions the way we could think about making such a device was put forth by Peter Zoller and Ignacio Cirac, 2 theorists well known in the quantum optics field. And their idea was: We have some electrode structure and we can arrange things so that the ions form a linear array. The basic idea is this is 3 dimensional harmonic well and the Coulomb repulsion holds them apart into some regular array. And you can... This is the closest I’ll get to most of the chemists here. This is like a pseudo molecule that we can manipulate. And it turns out that we can using laser cooling techniques, we can freeze out the motion. We can put all the vibration modes of this pseudo molecule into the ground state. And so their idea was that if we have... in general the qubits are going to be based on some internal states in each of the ions. And their idea for the tricky part is to make a gate between 2 ions. And their idea was the following where we... if we focus a laser beam on this ion here, we can do a mapping. We map this internal state of that ion on to the ground and first excited motional state of this pseudo molecule. And the thing we’re playing on here is that all the motion of any particularly mode in general is shared with all the ions so all the ions see this motional mode. And then if we can somehow make a gate between the motional mode then and say this ion here, then we’ve effectively made a gate between the 2 ions. So let me give you an idea how that works. So, this first step of mapping the internal state onto the motional mode is... If we think about... If we have our internal states of the ion and then we dress those with harmonic or the ladder of states associated with this vibrational mode.... So I’ve said ideally we put the ions in the motional mode ground state. And then it turns out if we just turn a laser on for a duration such that it takes this component of the wave function and maps it into this level down here, then basically we’ve made this mapping from the internal state onto the motional mode. And then the idea is that if we can make a logic gate between the motional mode and the internal state of the second selected qubit... And the idea there is that... This is a bit simple but it gives the basic idea. Suppose we call the motional mode the control bit. And the target bit is the internal state of the second ion. In this example here if we... In general that second ion we selected has... it sees the superposition, the motion and the internal states. And so the idea is that if the control bit, the motion mode, is in the first excited state, then we can drive this transition which means we flip the internal state bit. And on the other hand if it’s in the lowest state there’s no level up here for it to go to. So that invokes this logic. Now this is a bit of a cheat. This one doesn’t work exatly. You know it is not universal. But it gives this idea that selective dynamics can construct these logic gates. Anyway in our group we were able to implement this basic idea of Cirac and Zoller. This is Chris Monroe who is a member of our group from ’92 to 2000. And we could make that logic gate that they talked about. But what I want to say is that this gives you an idea. These are just the groups around the world using atomic ions to play with these ideas of quantum information processing. And so there’s about 35 by my count now. So it’s a huge operation that we’re dealing with. Just to give you an idea where the experiments go. There’s this idealised structure that I showed in the cartoon form earlier. And it turns out we’d like to make these devices small with all other conditions being the same. The gate speeds go with the motional frequencies and those scales. So we’ve started to think over the last decade or so now about how to shrink things down. And one thing we can do is use lithographic techniques to pattern electrodes. In this case it was alumina electrodes that we made slots in. And if we overlay these electrodes on here you get the idea of how we would make a structure, a small structure like this. This shows some real pictures. In this case we have several regions where the ions could sit. But it gives you kind of an idea of the things we’re dealing with. And there’s a picture of 6 ions that are located in a zone indicated there. And these days we’re even going further where we can pattern electrodes into a surface using well established micro-electronic techniques. And then the atoms are suspended above the surface. And each one... In this example each one of these little tiny squares is a zone where we can hold the ions. So this is the idea of how we might scale up. So let me just give you an idea. So these chips, these multi zone chips, that we’re able to store the ions we put in a vacuum system. And I think all these labs, often in atomic physics, we’re just consumed by lasers. All the students and postdocs, this is where they spend their lives. And of course the computer occupies a very tiny space over in a corner of the room. So I think I mentioned this idea of factoring. And in fact it was important to get the field stimulated. But one of the things we’re hoping for comes from Richard Feynman who was thinking about some ideas early on. You know, how the quantum computing might be important. And his idea was to get one quantum system to mimic another system. And I won’t have time. There’s a lot of work going on in this. I just want to... I’m highlighting 2 of the characters from our lab working on these ideas. Rainer Blatt our host here. He actually, his group they have the lowest error gates. And they’ve done the most in this area of quantum simulation. And although at this point the simulations we can do, that is the ion traverses a hole, are not really... We can simulate on a classical computer. We’re hoping that maybe in the next decade or so we’ll actually do a problem on a quantum simulator that we haven’t been able to do on a classical computer. And just this very, very small sample of what work is going on. There’s many other groups. So I’d like to thank my colleagues at NIST. I’ve been blessed to work with that group of people. We have some younger guys now. But Jim Bergquist, Bob Drullinger and Wayne Itano and I have basically been together for our whole careers. And we have some good young guys now coming up. And this gives you an idea of the size of our group now. And I can’t properly acknowledge everybody. The other thing I want to say is that it was really a pleasure to share this last year’s award with Serge Haroche. He’s been... Well, I’ve known his work for 35 years and got to know him personally 25 years ago and our wives have become friends. So it was certainly a great, you know, pleasure to be able to share with him. And he’s going to tell you about his work now, thanks. Applause.

Es ist mir eine große Freude, hier bei Ihnen zu sein, und ich freue mich schon darauf, die Studentinnen und Studenten kennenzulernen. Natürlich war es großartig, gemeinsam mit Serge Haroche den Nobelpreis zu bekommen. Das Thema meines heutigen Vortrags liegt ganz am anderen Ende des Spektrums dessen, was Sie heute Vormittag von Brian Kobilka gehört haben. Wir haben es hier mit extrem einfachen Systemen zu tun, aber wir versuchen, sie mit hoher Präzision zu steuern. Vielleicht beginne ich mit dem Beispiel von Schrödingers Katze. Ich finde es bemerkenswert, dass Schrödinger, einer der Erfinder der Quantenmechanik, beim Nachdenken über deren Konsequenzen ein ungutes Gefühl bekam, da die Theorie, für sich genommen, im Grunde nichts anderes beschreibt als die kontinuierliche Entwicklung von Systemen. Sein Unbehagen äußerte er so: Obwohl wir die Quantenmechanik in der Praxis nur auf relativ kleine, einfache Systeme anwenden können, sollte sie grundsätzlich für sehr große Systeme gelten. Er brachte sein Unbehagen mit diesem Beispiel zum Ausdruck Außerdem befindet sich in der Kiste, sagen wir, ein einzelnes radioaktives Teilchen. Und wenn das radioaktive Teilchen zerfällt, setzt es einen Mechanismus in Gang, der Gift freisetzt und die Katze tötet. Grundsätzlich kann man Gleichungen aufstellen, quantenmechanische Gleichungen, die diese Situation beschreiben. Und die Quantentheorie sagt uns nur, dass die Katze nach einer Halbwertszeit des Teilchens weder tot noch lebendig ist, sie ist zur gleichen Zeit tot und lebendig. Das ist natürlich eine sehr seltsame Situation. Jedenfalls aber nennt man diesen Fall der gleichzeitigen Existenz von Zuständen im Allgemeinen Superposition oder Überlagerung. Eine einfache Analogie, die mir gut gefällt, vermittelt uns ein Gefühl von dieser Überlagerung. Wenn Sie sich dieses Bild eines Würfels ansehen, sehen Sie manchmal die eine Seite hier im Vordergrund. Oder Sie sehen vielleicht diese Seite im Vordergrund. Das ist der Überlagerung sehr ähnlich in dem Sinn, dass man dazu neigt, entweder eine Situation oder die andere zu sehen. Doch in gewissem Sinn haben wir hier beide Eigenschaften gleichzeitig. Ich denke, das ist eine gute Analogie zur Überlagerung – es ist weder das eine noch das andere. Aus diesem Blickwinkel gesehen, ist es beides. An diesem Beispiel ist noch etwas interessant: Es bringt auf sehr schöne Art und Weise die Idee der Quantenmessung zum Ausdruck. Wir lernen in unseren Quantenmechanik-Kursen, dass wir dann, wenn wir ein System messen, einen Überlagerungszustand in einer Konfiguration oder in einer anderen projizieren oder kollabieren lassen. Wenn Sie also dazu neigen, einen dieser beiden Blickwinkel einzunehmen, ist das etwas ganz Ähnliches wie die Messung in der Quantenmechanik. Kommen wir zurück zu Schrödingers Beispiel. Die Quantenmechanik sagt also diesen Überlagerungszustand voraus. Und das ist... man nennt das insofern eine verschränkte Überlagerung, als der Zustand der Katze mit dem Zustand des Teilchens – nicht zerfallen oder zerfallen – korreliert. Das nennt man Verschränkung – wenn man diese Korrelationen bzw. diese Systeme erhält. Zumindest in kleinem Maßstab interessant ist folgende Tatsache: Wir können zeigen, dass diese Korrelationen selbst dann existieren, wenn die Einzelteile durch große Entfernungen getrennt sind, über die sie in der maßgeblichen Zeit nicht kommunizieren können. Doch ich schweife ein bisschen von meinem eigentlichen Thema ab. Schrödinger war beunruhigt über die Konsequenzen einer Anwendung der Quantenmechanik auf große Maßstäbe. Und in den Fünfzigern hatte er noch einen Ausweg. Zu jener Zeit konnte er sagen: „Nun, wir führen niemals richtige Experimente mit nur einem Elektron oder Atom oder Molekül durch. Das machen wir nur in Gedankenexperimenten.” Und diese Gedankenexperimente wurden von kleinen Systemen auf die makroskopische Welt wie etwa Katzen ausgedehnt. Ich glaube, was er hier sagt, ist im Grunde Folgendes: Vielleicht führen wir uns selbst in die Irre, wenn wir über das einfache System nachdenken, denn wenn wir es vergrößern, führt es zu diesen lächerlichen Konsequenzen. Heute sind wir natürlich in der Lage, diese Welt zu betreten, in der wir zumindest mit kleinen Systemen diese Spiele mit Überlagerung und Verschränkung spielen können. Wie gesagt: Das können wir nur mit sehr kleinen Systemen. Aber irgendwann kommen wir vielleicht zu viel größeren Systemen. Heute werde ich Ihnen etwas aus meiner eigenen, sehr beschränkten Welt vorstellen. Ich werde über die Arbeit an meinem Institut sprechen, dem National Institute of Standards and Technology. Natürlich beschäftigen sich auch viele andere Gruppen auf der ganzen Welt mit demselben Thema. Und von Serge Haroche werden Sie über eine ganz ähnliche Anwendung dieser Ideen ganz andere Ansichten hören. Lassen Sie mich also... Ich habe nicht die Zeit, alle von uns genutzten Techniken zu beschreiben. Aber lassen Sie mich Ihnen eine Vorstellung davon geben, wozu wir in der Lage sind. In unseren Experimenten verwenden wir normalerweise einfach ionisierte Atome; ein Beispiel dafür ist Beryllium. Wir geben es in eine Falle, in eine elektromagnetische Falle. Sie können sich das so vorstellen wie eine Murmel in einer Schüssel. Eine Situation, die wir realisieren können, ist die, in der wir… für verschiedene interne Zustände des Beryllium-Ions, die wir mit diesen Bezeichnungen versehen können. Sie haben magnetische Momente; wir können also von einem Spin sprechen. Und so können wir in Verbindung damit zu einem bestimmten Zeitpunkt sagen, wo diese atomare Murmel… sie kann, sagen wir, auf der linken Seite der Schüssel sein, korreliert damit, dass sich der interne Zustand in einer Position befindet, und gleichzeitig kann sie auf der rechten Seite der Schüssel sein, korreliert mit einem anderen internen Zustand. Diese Situationen können wir also tatsächlich realisieren. Man muss sagen, dass das natürlich nicht sehr… nicht wirklich makroskopisch ist. In der Tat ist es sehr klein. In diesen Experimenten beschreibt die Wellenpaketgröße die Position des Beryllium-Atoms in der Größenordnung von sieben Nanometern. Und die Einzelteile der Wellenfunktion waren nur um etwa zehnmal die Größe des Wellenpakets voneinander getrennt. Man könnte sagen: Das ist nicht wirklich Schrödingers Katze. Es ist einfach zu klein. Doch das ist einer der interessanten Aspekte der Quantenmechanik: Wenn man sagt, das ist zu klein, um im klassischen Sinn makroskopisch genannt zu werden, wo zieht man die Trennlinie? Damit haben wir immer noch zu kämpfen. Zum jetzigen Zeitpunkt gibt es keine Möglichkeit, diese Grenze zwischen klassisch und Quantenmechanik zu finden. Auch wenn das also sehr klein ist, würden wir sagen, es hat sehr ähnliche Eigenschaften wie Schrödingers Katze, analoge Eigenschaften. Darauf werde ich gleich zurückkommen. Wie in der Zusammenfassung erwähnt, könnten sich einige Anwendungen dieser Vorstellungen von Überlagerung in Uhren befinden. Und ich werde ein paar Worte über Quantencomputer verlieren. Was die Anwendung in Uhren betrifft, können Sie sich das so vorstellen: Wenn wir zum Beispiel einen elektrischen Dipolübergang in einem Atom haben und das Atom in einen Überlagerungszustand versetzen die wir so wie hier dargestellt aufschreiben können. Was hier beschrieben wird, ist ein oszillierender Dipol. Was ich hier geschrieben bzw. in dieser Darstellung gezeigt habe, ist ein Diagramm der Elektronendichte im Vergleich zur Zeit; sie oszilliert hin und her. Das ähnelt stark einer Pendeluhr. Und diese Eigenschaft können wir tatsächlich zur Herstellung einer Uhr nutzen, worüber ich jetzt ein paar Dinge sagen möchte. Die praktische Arbeitsweise bei der Herstellung einer Atomuhr sieht so aus, dass wir in diesem Beispiel hier das Atom im Grundzustand S beginnen lassen würden. Danach würden wir in einer bestimmten Frequenz Strahlung anwenden. Sagen wir, es wäre ein Laserübergang, was dieser Übergangsfrequenz hier sehr nahe käme. Und dann, nach dem Einsatz der Strahlung, würden wir messen. Wir würden die Wahrscheinlichkeit messen, mit der das Atom aus diesem Grundzustand in diesen angeregten Zustand übergegangen ist. Das kommt dem, was wir in der Praxis tun, sehr nahe. Wir halten uns an dieses Protokoll. Wenn die Laserfrequenz in diesem Beispiel der durch die Energiedifferenz dividiert durch Plancks Konstante vorgegeben Übergangsfrequenz entspricht, dann wissen wir, wenn diese Übergangswahrscheinlichkeit am größten ist, dass sich die Laserfrequenz mit der natürlichen Frequenz des Atoms im Gleichlauf befindet. Ich komme zurück auf… ich bleibe noch beim Thema Überlagerung. Bevor wir die Messung vornehmen, befindet sich das Atom im Allgemeinen in einem Übergang von seinem Grundzustand in den angeregten Zustand. Doch warum Atomuhren? Hierfür gibt es ein paar einfache Gründe, die sie davon überzeugen werden, warum das interessant ist. Im Grunde sind alle Atome bestimmte Ionen… Aluminium-Ionen oder Beryllium-Ionen, Magnesium-Ionen, alle diese bestimmten Arten sind genau identisch. Wenn wir uns also zur Herstellung einer Uhr auf einen Übergang einigen können, müsste im Grunde jede Uhr unabhängig von einem Vergleich im selben Tempo laufen. Natürlich gibt es im Experiment immer Schwierigkeiten… Umwelteinflüsse, die wir herauskalibrieren müssen. Das ist die echte Herausforderung. Und noch etwas: Im Gegensatz zu Pendeluhren nutzen sich Atome nicht ab. Sie können immer und immer wieder verwendet werden, ohne dass ihre Eigenschaften darunter leiden würden. Derzeit beschäftigen wir uns mit der Nutzung optischer Übergänge. Ein Beispiel hierfür ist Aluminium mit einer Übergangsfrequenz von etwa 10^15Hz. Der Grund dafür, warum die hohe Frequenz interessant ist, liegt in Folgendem: Mit der höheren Tickrate kann man jedes Zeitintervall in immer kleineren Stufen definieren. Auf diese Weise erhält man eine höhere Zeitauflösung. Interessant ist auch, dass bei einigen Übergängen, etwa dem von Aluminium, die Lebenszeit des angeregten Zustand etwa 20 Sekunden beträgt. Und wir erhalten Auflösungen bis zu etwa 1/10 Hz, was sehr präzise den Zustand beschreibt, in dem der Laser… die Laserfrequenz an die atomare Übergangsfrequenz angepasst wird. Ich gebe Ihnen noch ein Beispiel. In unserem Labor haben wir damit begonnen, an Quecksilber-Ionen zu arbeiten. Hier haben wir einen ähnlichen Übergang, der als Uhr genutzt werden könnte. Die Art und Weise, wie wir diese Übergänge entdecken, ist ziemlich einfach. Wir finden einen anderen Übergang in dem Atom. In diesem Fall ist es einer, der… wir können eine Menge Photonen streuen. Und die Grundidee ist: Wenn wir uns nach dem Einsatz der Uhrenstrahlung außerhalb der Resonanz befinden und das Atom im Grundzustand verbleibt, dann sehen wir Fluoreszenz. Wenn wir es dagegen in den angeregten Zustand versetzt haben, gibt es für die Laserphotonen keinen Zustand, von dem aus sie streuen könnten. Das ist sehr schön, denn selbst mit einem einzelnen Atom können wir, wenn es dunkel ist, ganz einfach feststellen, wann das Atom einen Übergang vollzogen hat. Sehen wir keine Fluoreszenz, bedeutet das in diesem Fall, dass es in den angeregten Zustand D übergegangen ist. Wenn wir Fluoreszenz sehen, bedeutet das, dass es keinen Übergang vollzogen hat. Und wie ich schon sagte, können wir das in der Uhr als Referenz verwenden. Ein Beispiel aus unserem Labor: Jim Bergquist, der... wir starteten dieses Projekt im Jahr 1981. Und wir arbeiten immer noch daran. Auf ein paar Vorteile der Verwendung von Ionen bin ich noch gar nicht zu sprechen gekommen. Doch wir… zunächst einmal: Allein die Tatsache, dass wir die Ionen an einem Ort festhalten, führt dazu, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit gegen null geht. Ein Messeffekt, über den wir uns Gedanken machen müssen, ist der sogenannte Dopplereffekt erster Ordnung, der gewöhnliche, allseits bekannte Dopplereffekt. Und da die Durchschnittsgeschwindigkeit null ist, tendiert er ebenfalls gegen null. Die Technik der Laserkühlung habe ich auch noch nicht dargestellt – zahlreiche Atomphysikexperimente, bei denen wir den Strahlungsdruck von Lasern zur Senkung der Ionentemperatur verwenden. Das ist deshalb wichtig, weil die Zeit aufgrund der Konsequenzen aus Einsteins Relativitätstheorie für bewegte Objekte langsamer vergeht. In jedem uns vertrauten Maßstab hat das nur geringfügige Auswirkungen. Doch die Präzision ist mittlerweile dermaßen hoch, dass wir uns über diesen Effekt tatsächlich Gedanken machen müssen. Mittels Laserkühlung können wir diese zeitliche Beziehung unterdrücken. Es gibt noch viele andere Dinge, die wir berücksichtigen müssen, aber darauf werde ich jetzt nicht eingehen. Jedenfalls aber ist um 2006 herum das Resultat dieser Arbeit, der Standard, der die Sekunde definiert, ein extrem feiner Übergang in Cäsium. Und natürlich wurde es im Lauf der Jahre immer besser; unser Ziel war nicht festgelegt. Zu jener Zeit erreichten wir schließlich eine systematische Unsicherheit von ungefähr sieben in 10^17 Teilen, was besser war als der existierende Cäsium-Standard. Heutzutage geht es in den meisten Laboren, die sich mit Standards befassen, um die optischen Übergänge, mit denen man eine sehr hohe Präzision und Genauigkeit erreichen kann. Wie gesagt, das ist ein Beispiel aus unserem Labor. Es gibt andere Ionen, über die man sich den Kopf zerbricht. Dieser Beitrag hier fasst diese Arbeit zusammen. Gleichzeitig gibt es natürlich viele Experimente, bei denen neutrale Atome verwendet werden, eingefangene neutrale Atome. Es gibt also eine enorme Anzahl von Laboren auf der ganzen Welt, die an diesen Atomuhren arbeiten Lassen Sie mich etwas zur Idee der Quantencomputer sagen. Die Grundlage… ist auch hier die Überlagerung. Im Gegensatz zum klassischen Bit, das in dem einen Zustand oder in dem anderen existieren kann, spielen wir mit der Idee, dass in diesem Fall ein Quantenbit… wir ändern hier die Bezeichnungen; das könnten Energiestufen in einem Atom sein, die wir… in einem gewissen Sinn kann es sich gleichzeitig im Zustand 0 und im Zustand 1 befinden, also beide Informationen gleichzeitig. Wo könnte das interessant sein - stellen Sie sich die Skalierung vor. Nehmen wir zum Beispiel 3 Qubits in einem klassischen Register, das eine Zahl aufnehmen könnte. Doch mit Überlagerung können wir alle acht Zahlen für diese 3 Qubits – Quantenbits – gleichzeitig aufnehmen. Das macht 2^3. Und natürlich ist die Skalierung, wie Sie sehen, exponentiell. Ein interessantes Beispiel: Wenn wir 300 Bits haben, speichert ein klassischer Computer damit eine Textzeile. Doch mit der Überlagerung speichert er 2^300 oder etwa 10^90 Dezimalzahlen gleichzeitig. Wenn wir einen Speicher, einen klassischen Speicher für derart viele Daten herstellen müssten, bräuchten wir dafür mehr Materie als im Universum vorhanden ist. Das klingt doch ziemlich gut. Noch etwas kommt hinzu: Wenn wir einen Überlagerungszustand erzeugen, werden die Operationen, die wir durchführen, an all diesen Zahlen gleichzeitig ausgeführt. Das klingt nach einer gigantischen Parallelverarbeitung. Auch das hört sich ziemlich gut an. Der Witz an der Sache ist… kommen wir zurück zu dem Beispiel von der Kiste und den verschiedenen Blickwinkeln. Wenn wir ein Quantensystem messen… zum Beispiel, wenn wir die Überlagerung von 3 Bits messen. Wenn wir das System messen, kollabiert es zu nur einer dieser Konfigurationen. Was wir also entwickeln müssen... hilfreich ist ein Algorithmus, bei dem wir die meisten dieser Koeffizienten vor Durchführung der Messung und nach dem Rechenvorgang erzeugen. Wir wollen den Zustand wenigstens zu einer sehr kleinen Zahl von Möglichkeiten kollabieren lassen. Ein Beispiel, bei dem das möglich sein könnte, ist der Shor-Algorithmus. Ich erzähle Ihnen jetzt nicht die ganze Historie, obwohl es eine Menge interessanter Geschichten hinter dieser Idee des Quantencomputing gibt. Doch der eigentliche Auslöser war ein Algorithmus zur Faktorisierung großer Zahlen, den Peter Shor vorstellte. Wichtig ist das deshalb, weil es Auswirkungen auf die Verschlüsselung hat. Sie können sich also denken, dass alle Regierungsbehörden daran interessiert sind. Um Ihnen eine Vorstellung von all dem zu geben, ziehen wir einen Vergleich mit dem klassischen Computer. Auch wenn das vielleicht nicht die effizienteste Art und Weise ist, könnte man grundsätzlich einen universellen klassischen Computer konstruieren, der aus nur zwei Gates besteht. Es gibt noch andere Kombinationen, aber das wären dann schon 2 Beispiele. Für die Quantenwelt gilt das genauso, nur dass wir zwei Arbeitsgänge statt eines einzelnen Bit-Flips benötigen. Wir brauchen etwas Allgemeineres. An die Chemiker unter uns gerichtet: Denken Sie an NMR; damit sind Sie in der Lage, die Spins um verschiedene Winkel zu drehen. Das ist die Art von Operation, von der wir hier reden. Wir brauchen außerdem eine Art von nicht-trivialem Logikgatter. In diesem Fall, wenn wir mit Eigenzuständen des Systems agieren… natürlich könnten wir das auf klassische Weise mit einem klassischen Elektronik-Chip reproduzieren. Aber denken Sie daran: In diesem Fall stellen wir uns vor, dass mit Überlagerungen gearbeitet wird. Peter Shors Algorithmus spielt also eine große Rolle. Er ist sehr interessant, aber es dauert lange, ihn zu beschreiben. Die grundlegende Voraussetzung jedoch, die Art und Weise, wie er umgesetzt werden könnte, besteht darin, dass man über ein Eingangsregister verfügt. Man beginnt mit der Überlagerung aller möglichen Zahlen bis zu der Zahl, die man faktorisieren möchte. Und dann führt man eine Abfolge der Drehungen in diesen zwei kubischen Gates durch; jedenfalls ist das eine Form, wie man rechnen könnte. Am Ende hat man dann hier eine Art von Überlagerung. Wie soll man sich das vorstellen… es ist so etwas wie ein kompliziertes Interferenz-Experiment, bei dem alle möglichen Zustände, die die Atome annehmen können, in der Weise miteinander in Wechselwirkung treten, dass man am Ende eine endliche Zahl von Zuständen hat, die nicht viel kleiner ist als 2^N. Das ist immer noch eine sehr große Zahl von Zuständen, doch der Zustand, den man misst, könnte in einem klassischen Algorithmus zur Extrahierung des Faktors einer Zahl verwendet werden. Das ist also die Grundidee. Schon um eine 150-stellige Dezimalzahl zu faktorisieren, was für die Verschlüsselungsleute heutzutage wahrscheinlich nicht interessant ist, muss man mindestens so weit kommen. Doch das würde eine enorme Menge von Arbeitsgängen und Zehntausende von Qubits erfordern. Davon sind wir derzeit noch weit entfernt. Aber eines lässt sich dazu sagen… kommen wir noch einmal auf Schrödingers Katze zurück. Zu einem zwischen diesen Arbeitsvorgängen liegenden Zeitpunkt könnte man nur das “i”-Bit herausgreifen lassen. Und das sieht in diesem Fall Schrödingers Katze sehr ähnlich, denn die gesamte Kollektion der anderen Bits befände in wesentlich anderen Zuständen, ganz so wie Schrödingers Katze. Deshalb sprechen wir davon, dass wir Schrödingers Katze großziehen. Das ist unser Ziel. Im Umfeld atomarer Ionen wurde die Idee, wie ein solches Gerät hergestellt werden könnte, von Peter Zoller und Ignacio Cirac, zwei auf dem Gebiet der Quantenoptik sehr bekannten Theoretikern, vorgebracht. Ihr Gedanke war: Wir haben eine Elektrodenstruktur, und wir können die Dinge so arrangieren, dass die Ionen eine lineare Anordnung bilden. Die Grundidee lautet: Das ist ein dreidimensionaler harmonischer Oszillator, und die Coulombsche Abstoßung hält alles in einer regelmäßigen Anordnung auseinander. Und man kann… weiter kann ich mich den Chemikern hier nicht annähern… es ist wie ein Pseudomolekül, das wir manipulieren können. Es erweist sich, dass wir Laserkühltechniken verwenden können, wir können die Bewegung einfrieren. Wir können alle Vibrationszustände dieses Pseudomoleküls in den Grundzustand versetzen. Ihre Idee war nun, dass wir… im Allgemeinen werden die Qubits auf internen Zuständen in jedem der Ionen basieren. Für den schwierigen Teil verfielen sie auf den Gedanken, zwischen zwei Ionen ein Gatter herzustellen. Ihre Vorstellung war: Wenn wir einen Laserstrahl auf dieses Ion hier richten, können wir eine Kartierung vornehmen. Wir kartieren den internen Zustand dieses Ions auf den Grundzustand und den ersten angeregten Bewegungszustand dieses Pseudomoleküls. Das Spiel, das wir hier spielen, beruht darauf, dass die gesamte Bewegung eines jeden bestimmten Zustands im Allgemeinen mit allen Ionen geteilt wird, so dass alle Ionen diesen Bewegungszustand wahrnehmen. Und wenn wir jetzt irgendwie ein Gatter zwischen dem Bewegungszustand und, sagen wir, diesem Ion hier errichten können, dann haben wir praktisch ein Gatter zwischen zwei Ionen hergestellt. Ich will Ihnen eine Vorstellung davon geben, wie das funktioniert. Der erste Schritt: Kartierung des internen Zustands auf den Bewegungszustand. Wenn wir die internen Zustände des Ions kennen und sie mit harmonischen… bzw. der mit diesem Vibrationszustand verbundenen Zustandsleiter ausstatten.... wie gesagt, versetzen wir die Ionen idealerweise in den Bewegungsgrundzustand. Und wenn wir jetzt einen Laser so lange einschalten, wie er benötigt, um diese Komponente der Wellenfunktion auf diese Ebene hier zu kartieren, dann haben wir im Grunde die Kartierung vom internen Zustand auf den Bewegungszustand durchgeführt. Dahinter steht folgende Idee: Wenn wir zwischen dem Bewegungszustand und dem internen Zustand des zweiten ausgewählten Qubits ein Logikgatter errichten können… die Idee dabei ist... das ist ein bisschen simpel, aber die Grundidee wird deutlich. Nennen wir den Bewegungszustand das Kontrollbit. Das Zielbit ist der interne Zustand des zweiten Ions. Wenn wir in diesem Beispiel… im Allgemeinen hat das zweite Ion, das wir ausgewählt haben… es nimmt die Überlagerung wahr, die Bewegung und die internen Zustände. Die Vorstellung ist also: Wenn sich das Kontrollbit, also der Bewegungszustand, im ersten angeregten Zustand befindet, dann können wir diesen Übergang anstoßen, was bedeutet, dass wir das Bit des internen Zustands invertieren. Wenn es sich andererseits hier im niedrigsten Zustand befindet, gibt es hier keine höhere Ebene, auf die es gelangen könnte. Das folgt aus dieser Logik. Hier wird allerdings ein bisschen geschummelt. Das hier funktioniert nicht exakt. Sie wissen, es ist nicht universell. Aber es vermittelt die Vorstellung, dass selektive Dynamiken dieses Logikgatter konstruieren können. Jedenfalls konnten wir in unserer Gruppe diese Grundidee von Cirac und Zoller umsetzen. Das ist Chris Monroe, der von 1992 bis 2000 zu unserer Gruppe gehörte. Wir konnten dieses Logikgatter, über das sie gesprochen haben, herstellen. Das hier gibt Ihnen eine Vorstellung von den Gruppen auf der ganzen Welt, die atomare Ionen für das Spiel mit diesen Ideen der Quanten-Informationsverarbeitung verwenden. Nach meiner Zählung sind es mittlerweile 35. Wir haben es also mit einer gewaltigen Aktivität zu tun. Nur, um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, wohin die Experimente führen Es zeigt sich, dass wir diese Geräte gerne klein machen würden, unter sonst unveränderten Bedingungen. Die Gattergeschwindigkeiten entsprechen den Bewegungsfrequenzen und diesen Ausmaßen, 1:Dimension^2 Im letzten Jahrzehnt haben wir darüber nachgedacht, wie wir die Dinge schrumpfen lassen könnten. Eine Möglichkeit besteht darin, lithographische Techniken zur Nachbildung von Elektroden zu verwenden. In diesem Fall handelte es sich um Tonelektroden, die wir mit Schlitzen versahen. Und wenn wir diese Elektroden hier übereinander legen, können Sie sich vorstellen, wie wir ein Gebilde, ein kleines Gebilde wie dieses herstellen würden. Das sind jetzt reale Bilder; in diesem Fall gibt es mehrere Regionen, in denen sich das Ion befinden könnte. Aber es gibt Ihnen eine Vorstellung von den Dingen, mit denen wir zu tun haben. Dieses Bild zeigt sechs Ionen, die sich in der dort angegebenen Zone befinden. Heutzutage gehen wir sogar noch weiter: Mit bewährten mikroelektronischen Techniken können wir Elektroden in einer Oberfläche nachbilden; dann werden die Atome über der Oberfläche aufgehängt. Und jedes... in diesem Beispiel ist jedes dieser winzigen Quadrate eine Zone, in der wir die Ionen festhalten können. Das ist die Idee, wie wir vielleicht größer werden könnten. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben: Diese Chips, diese Multizonen-Chips, in denen wir die Ionen speichern konnten, gaben wir in ein Vakuumsystem. Ich glaube, all diese Labore, vor allem der Fachrichtung Atomphysik, wurden von Lasern buchstäblich aufgezehrt. All die Studenten und Doktoranden – hier verbringen sie ihr Dasein. Und natürlich belegt der Computer nur einen winzigen Platz in einer Ecke des Raumes. Ich glaube, ich habe die Idee der Faktorisierung schon erwähnt. Sie war tatsächlich wichtig, um dem Fachgebiet Impulse zu verleihen. Ein Aspekt, der uns Hoffnung macht, stammt von Richard Feynman, der sich schon früher über einige Ideen Gedanken gemacht hat. Sie wissen schon: welche Bedeutung der Quantencomputer haben könnte. Seine Idee war, ein Quantensystem dazu zu veranlassen, ein anderes zu imitieren. Ich habe keine Zeit mehr… daran wird viel gearbeitet. Ich möchte nur… ich möchte zwei Personen aus unserem Labor, die an diesen Ideen arbeiten, besonders hervorheben. Rainer Blatt, unser Gastgeber. Seine Gruppe hat die niedrigste Fehlerquote, und sie haben auf diesem Gebiet der Quantensimulation am meisten geleistet. Und obwohl die Simulationen, die wir durchführen können – das Ion geht über ein Loch –, sind nicht wirklich… wir können die Simulationen auch auf einem klassischen Computer durchführen. Wir hoffen, dass wir im nächsten Jahrzehnt auf einem Quantensimulator ein Problem lösen können, das wir auf einem klassischen Computer noch nicht lösen konnten. Hier noch ein sehr, sehr unbedeutendes Beispiel dafür, woran gearbeitet wird. Es gibt noch viele andere Gruppen. Ich möchte mich bei meinen Kollegen am NIST bedanken; es war eine Ehre, mit den Menschen dort arbeiten zu dürfen. Jetzt sind ein paar Jüngere nachgekommen. Doch Jim Bergquist, Bob Drullinger, Wayne Itano und ich selbst, wir waren im Grunde unser ganzes Berufsleben zusammen. Und ein paar gute Junge rücken jetzt nach. Das gibt Ihnen eine Vorstellung davon, wie groß unsere Gruppe heute ist. Ich kann leider nicht jeden angemessen würdigen. Eines möchte ich noch sagen: Es war mir ein Vergnügen, den Preis im letzten Jahr mit Serge Haroche zu teilen. Er war... nun, ich kenne seine Arbeit seit 35 Jahren. Vor 25 Jahren haben wir uns persönlich kennengelernt, und auch unsere Frauen haben sich angefreundet. Es war wirklich eine große Freude, den Preis mit ihm zu teilen. Und jetzt wird er Ihnen jetzt etwas über seine Arbeit erzählen. Vielen Dank. Beifall.


In 1935, Erwin Schrödinger, one of the inventors of quantum mechanics, illustrated his discomfort with the theory by pointing out that its extension to the macroscopic world could lead to bizarre situations such as a cat being simultaneously alive and dead, a so-called superposition state. Today, we can create analogous situations on a small scale, such as putting an atom in a “bowl” and placing it on the left and right sides of the bowl simultaneously.

Superpositions can be used as clocks. For example, the wave function that describes the superposition of two different energy levels in an atom oscillates at a frequency given by the energy level difference divided by Planck’s constant. The duration required to count a prescribed number of these oscillations can be used to define a unit of time such as the second. Today, atomic clocks run at rates that are uncertain at a level of only 1 part in 1017.

Superpositions might also be useful for computation. For example, two energy levels in an atom, labeled "0" and "1," can be used to store information like the bits in our laptops. However, as in the atom/bowl experiment, we can arrange the quantum bit to be in a superposition, thereby storing both states of the bit simultaneously. This property leads to a memory and processing capacity that increases exponentially with the number of bits. This and a related property called “entanglement” would enable a quantum computer to efficiently solve certain classes of problems that are intractable on conventional computers. So far, scientists have constructed quantum computers composed of only a few bits, but with advances in technology, a useful processor may someday become a reality. A macroscopic quantum processor would realize a close analog to Schrödinger’s cat. These topics will be briefly discussed in the context of trapped atomic ions.

Additional reading:

Nielsen, M. A. & Chuang, I. L. Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2000)

“Entangled states of trapped atomic ions,” R. Blatt and D. Wineland, Nature 453, 1008-1015 (2008).