Ich freue mich, zum dritten Mal hier in Lindau zu sein und diese Gelegenheit zu haben,
Ihnen über die Problematiken zu berichten, an denen ich in jüngster Zeit gearbeitet habe.
Dieses Mal möchte ich Ihnen etwas über die Gravitationstheorie erzählen.
Ein ziemlicher Unterschied zu meinen vorherigen Themen.
Wie Sie alle wissen, stellte Newton vor mehr als 200 Jahren als Erster eine Gravitationstheorie auf.
Die Newton'sche Theorie war eine gute Theorie. Sie überlebte mehr als 200 Jahre ohne Widerspruch.
Und in diesem Jahrhundert stellte Einstein dann eine neue Gravitationstheorie auf.
Die Einstein'sche Theorie war mit seinem Relativitätsprinzip verbunden und er zeigte,
wie die Gravitation als ein Effekt erklärt werden konnte, der von der Krümmung von Raum und Zeit herrührt.
Mathematisch gesehen war die Einstein'sche Theorie eine sehr schöne Theorie.
Und man fand auch heraus, dass sie in guter Übereinstimmung mit Beobachtungen war
und so wurde sie in der Wissenschaftswelt allgemein akzeptiert.
Einsteins Theorie erzeugte ein enormes wissenschaftliches Interesse.
Sehr viele Menschen haben viele Jahre lang intensiv an dieser Theorie gearbeitet.
Und dann nahm das Interesse an Einsteins Gravitationstheorie ziemlich ab.
Leute fanden es schwierig, mit den Gleichungen zu arbeiten.
Man fand andere interessante Themen, hauptsächlich die Quantentheorie.
Und eine Zeit lang hörte man in der Welt der Wissenschaft sehr wenig über Einsteins Theorie.
Aber in der jüngsten Zeit, seit dem Krieg, gab es eine Belebung des Interesses an der Einstein'schen Gravitationstheorie
und derzeit gibt eine steigende Zahl von Leuten, die daran arbeiten.
Diese Belebung des Interesses kann erklärt werden, denke ich, oder begründet werden durch zwei Gründe:
Zum Teil, weil neue mathematische Methoden entwickelt wurden, sie zu behandeln.
Und zum Teil, weil man kontinuierlich neue Beobachtungen von sehr weit entfernten Teilen unseres Universums erhält.
Diese Beobachtungen werden mithilfe von sehr großen Teleskopen erzielt, die jetzt verfügbar sind.
Und auch mithilfe der neuen Technologie der Radioastronomie.
Es gibt also diese Wiederbelebung des Interesses an der Einstein'schen Gravitationstheorie.
Und als Konsequenz gibt es nun internationale Konferenzen über die Gravitation, die regelmäßig alle zwei Jahre abgehalten werden.
Die dritte dieser internationalen Konferenzen wurde erst letzte Woche in der Nähe von Paris abgehalten.
Zu diesen Konferenzen kommen Leute, die an der Gravitationstheorie arbeiten, aus allen Ländern und die sich treffen
und Berichte über ihre jüngsten Forschungen präsentieren und die Probleme diskutieren, die man noch lösen muss.
Ich denke, man kann die Leute, die zu diesen Konferenzen kommen, die Leute, die auf dem Gebiet der Gravitation arbeiten,
ganz klar in drei Klassen einteilen: Das sind die Mathematiker, die Physiker und die Kosmologen.
Die Mathematiker beschäftigen sich damit, exakte Lösungen der Einstein'schen Gleichungen zu bekommen.
Sie sind an allen möglichen Arten von exakten Lösungen interessiert, unabhängig davon,
ob diese Lösungen etwas mit unserer wirklichen Welt zu tun haben oder nicht.
Die anderen zwei Klassen beschäftigen sich mit der wirklichen Welt.
Die Physiker beschäftigen sich damit, das Gravitationsfeld als ein physikalisches Feld zu untersuchen
und die physikalischen Effekte der Gravitationskräfte herauszufinden.
Und sie hoffen, dass sie in der Lage sind, diese Effekte mit ihren Instrumenten zu messen.
Die Kosmologen beschäftigen sich mit dem Universum als Ganzes.
Sie beschäftigen sich damit, wie das Universum in extrem großen Entfernungen aussieht und ihr Hauptproblem ist,
ob das Universum geschlossen ist oder ob es ein offenes Universum ist.
Heute möchte ich Ihnen nur über den Gesichtspunkt des Physikers berichten.
Für den Physiker ist es ein glücklicher Umstand, dass man nicht die exakten Gleichungen der Einstein'schen Theorie benutzen muss.
Man kann mit einer bestimmten Näherung arbeiten.
Die Effekte des Gravitationsfeldes werden einer Krümmung der Raumzeit zugeschrieben.
Und als Physiker kann man diese Krümmung als extrem klein ansehen.
Im Raum des Physikers ist diese Krümmung sicher extrem klein und es ist ausreichend,
mit den Näherungen für die Einstein'sche Theorie zu arbeiten, die in dem Fall zutrifft,
wenn die Krümmung der Raumzeit extrem klein ist.
Das würde für Kosmologen nicht zutreffen, weil diese Näherung keine gute Näherung wäre,
wenn man sich mit extrem großen Entfernungen beschäftigt.
Entfernungen, die zum Beispiel mit den Entfernungen zwischen unterschiedlichen astronomischen Nebeln vergleichbar sind.
Aber für die Entfernungen, für die sich der Physiker interessiert, ist diese Näherung sicherlich gültig.
Nun, die exakte Gleichung aus Einsteins Theorie ist die Gleichung (1) in diesen Notizen.
Ich denke, dass recht viele von Ihnen die deutsche Übersetzung dieser Notizen bei sich haben,
so dass ich nicht alle Gleichungen aufschreiben muss, sondern ich muss mich nur auf sie beziehen.
Und ich werde auf der Tafel nur die wichtigeren Gleichungen anschreiben.
Wenn wir die Näherungsform der Einstein'schen Theorie nehmen, wenn sie auf einen Raum angewandt wird, der nahezu eben ist,
dann haben wir dies als unsere Grundgleichung.
Wir haben eine Gleichung, die die Größe h-mü-nü enthält, die in dieser Weise eingeführt wird:
Die exakte Einstein'sche Theorie basiert auf einem bestimmten Tensor, der so geschrieben wird, G mit zwei Suffixen mü und nü.
Und mü und nü kann die vier Werte 0, 1, 2, 3 annehmen.
Dieser Tensor beschreibt das Gravitationsfeld, beschreibt die Krümmung der Raumzeit. Und er bestimmt auch das Koordinatensystem.
Nun, für einen Raum, der nahezu eben ist,
unterscheidet sich dieser Tensor nur um eine kleine Größe von seinem Wert für eine ebene Raumzeit.
Für eine ebene Raumzeit haben diese unterschiedlichen Elemente alle den Wert 1 oder -1 oder 0.
Und die Unterschiede zu einer ebenen Raumzeit beschreiben wir durch h-mü-nü und wir gehen davon aus,
dass h-mü-nü klein ist und vernachlässigen Größen, die in zweiter Ordnung klein sind.
Wir haben dies dann als unsere Grundgleichung der Einstein'schen Theorie.
Der Laplace-Operator, der durch dieses Symbol zum Quadrat bezeichnet wird, wird angewendet auf h-mü-nü.
Zunächst werde ich alle Gleichungen aufschreiben und dann erklären.
dv-mü durch dx-nü plus dv mü durch dx mü gleich 16 pi Gamma Rho-mü-nü.
Dieses Rho-mü-nü wird aus dem Tensor konstruiert, der vorhandene Materie beschreibt.
Und insbesondere verschwindet dieses Rho, wenn es keine Materie gibt.
Gamma ist hier die Gravitationskonstante und gilt in der Näherung, mit der wir arbeiten, als sehr klein.
Dieses v-mü ist eine bestimmte Größe, die aus den ersten Ableitungen von h-mü-nü konstruiert wird.
Und sie werden den Ausdruck für v-mü als Gleichung (3) aufgeschrieben finden. Und darüber muss ich nicht mehr sagen.
Dies ist dann unsere Grundgleichung.
Um diese Gleichung zu verwenden, wählt man üblicherweise ein Koordinatensystem, das diese Größe v-mü zum Verschwinden bringt.
Es ist eine sehr nette Bedingung, die den Koordinaten auferlegt wird.
Und wenn man mit diesen Koordinaten arbeitet, dann arbeitet man mit harmonischen Koordinaten, sagt man.
Diese harmonische Bedingung für die Koordinaten wird sehr oft benutzt
und sie resultiert in einer starken Vereinfachung der Gleichung,
weil diese zwei Terme mit diesen harmonischen Koordinaten einfach verschwinden.
Und diese Gleichung mit nur zwei Termen bleibt übrig.
Wenn wir nun diese Gleichung auf eine Raumzeit-Region anwenden, in der es keine Materie gibt,
verschwindet dieser Term auch und wir behalten nur diese Gleichung über, Quadrat h-mü nü gleich 0.
Und das ist gerade die gutbekannte Gleichung für eine Wellenbewegung, die Gleichung, die wir für alle möglichen Felder haben,
wenn es Wellen gibt, die sich mit der Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Wir können also sagen, dass in dieser Näherung der schwachen Felder,
die Einstein'sche Theorie zu diesen Wellen in der Größe h-mü-nü führt.
In den Regionen von Raum und Zeit, wo es keine Materie gibt.
Nun ist es eine wichtige Eigenschaft von Einsteins Theorie, dass sie für alle Koordinatensysteme gültig ist.
Wir arbeiten an dem Fall, wo die Felder schwach sind.
Und es ist das Natürliche unter diesen Bedingungen mit einem Koordinatensystem zu arbeiten, das annähernd kartesisch ist.
Wir können nicht sagen, dass es exakt kartesisch ist, weil es noch eine kleine Krümmung in unserem Raum gibt, die verhindert,
dass man kartesischen Koordinaten eine präzise Bedeutung gibt.
Aber wir können noch Koordinaten nehmen, die annähernd kartesisch sind, und das ist es, was wir machen,
wenn wir diese Größen h-mü-nü einführen.
Aber sogar mit diesen Koordinaten, die annähernd kartesisch sind und sogar mit der harmonischen Bedingung,
bleibt noch einige Willkürlichkeit in unserem Koordinatensystem übrig.
Und wegen dieser Willkürlichkeit, die noch in unserem Koordinatensystem verbleibt,
können wir bezüglich der Bedeutung dieser Wellen nicht sehr sicher sein, deren Existenz durch diese Gleichung gezeigt wird.
Wir können nicht sicher sein, ob diese Wellen wirklich etwas Physikalisches sind
oder ob sie nur mit unserem Koordinatensystem verbunden sind.
Nun, das ist wirklich immer die Hauptschwierigkeit, wenn man mit der Einstein'schen Theorie arbeitet.
Es ist die Schwierigkeit das, was real und physikalisch ist, von dem zu unterscheiden,
was einfach von unserem Koordinatensystem abhängt. Und das wird unser Hauptproblem der heutigen Diskussion sein.
Nun, um unsere Ideen präziser zu fassen, lassen Sie uns annehmen, wir haben ein tatsächliches physikalisches Problem.
Wir haben einige Massen, die zusammenkommen, vielleicht sogar mit hohen Geschwindigkeiten,
die miteinander in irgendeiner Weise wechselwirken. Und wir haben zwischen ihnen Gravitationskräfte.
Und wir wollen diskutieren, was genau passiert.
Ich sollte nicht sagen, was genau passiert, ich sollte sagen, wir wollen diskutieren,
was in dieser Näherung von schwachen Gravitationsfeldern passiert.
Wir müssen dann eine Lösung dieser ersten Gleichung hier suchen.
Nun, Lösungen für diese Gleichung sind Physikern sehr vertraut, weil diese Gleichung selbst den Gleichungen stark ähnelt,
die wir in der Elektrodynamik haben.
Wir können diese rechte Seite so interpretieren, als ob sie Wellen in dieser Größe h erzeugt, auf dieselbe Art und Weise,
wie elektrische Ladungen und Ströme elektromagnetische Wellen erzeugen.
Und durch unsere Vertrautheit mit einer Lösung der elektromagnetischen Gleichungen
können wir sofort Informationen über die Lösung dieser Gleichung erhalten.
Wir wissen, dass es eine Lösung gibt, wenn uns der Wert von Rho gegeben wird.
Es gibt eine Lösung in Form von retardierten Potentialen.
Und dies wird die Lösung sein, die eine wichtige Lösung ist - physikalisch - wenn es keine einlaufenden Gravitationswellen gibt.
Für die generelle Lösung, die man von dieser retardierten Lösung bekommt,
addiert man zu der retardierten Lösung bestimmte, willkürlich einlaufende Wellen.
Aber es wird hauptsächlich die retardierte Lösung sein, über die ich sprechen möchte.
Mit dieser retardierten Lösung haben wir, dass h-mü-nü bei großen Entfernungen proportional ist zu 1 durch r. r ist der Abstand.
Die h-mü-nü sind fast wie elektromagnetische Potentiale und um etwas zu bekommen,
was dem elektromagnetischen Feld entspricht, etwas, was wir als Gravitationsfeld annehmen können,
müssen wir dieses h-mü-nü einmal differenzieren.
Wenn wir etwas differenzieren, was bei großen Distanzen von der Form 1 durch r ist, dann tauchen zwei Glieder auf:
Ein Term der von 1 durch r^2 abhängt und der andere Term, der von Omega durch r abhängt.
Ich sollte sagen, ein Term von der Ordnung Omega durch r, wo Omega die Frequenz der Schwingungen ist,
die in dieser Materieverteilung auftreten.
Für Entfernungen, die nicht zu groß sind, ist der eins durch r^2-Term der wichtige Term.
Dieser 1 durch r^2-Term gibt Ihnen die Coulombkraft in der Elektrodynamik.
Und es gibt ihnen die Newton'sche Kraft in der Schwerkraft.
Aber für viel größere Entfernungen als das, ist der Omega durch r Term der dominante Term.
Und dieser Term entspricht Wellen. So, dies wird der wichtige Term für unseren Vortrag heute sein.
Dieser Term, der die Lösung bei sehr großen Entfernungen dominiert.
Lassen Sie uns nun unsere Aufmerksamkeit den Wellen widmen, die in eine bestimmte Richtung herauskommen.
Lassen Sie uns sagen, den Wellen, die in der Richtung der x3-Achse herauskommen. Nehmen wir an, dies ist die x3-Achse.
Und dann wollen wir die Lösung unserer Feldgleichung untersuchen, vier Punkte hier draußen,
wo x3 einen großen und positiven Wert hat. Und x1 und x2 sind klein.
In dieser Region hier draußen, werden wir Wellen haben, die sich radial nach außen bewegen.
Und diese werden der dominante Teil unserer Lösung sein.
Um die Lösung in dieser Raumregion zu untersuchen, müssen wir d durch dx1 und d durch dx2 gleich null setzen.
Aber wir müssen auch d durch dx3 und minus d durch dx0 gleichsetzen.
Da gibt es einen Fehler in dem Dokument, das verteilt wurde; dieses Minuszeichen wurde ausgelassen, also tragen Sie es bitte ein.
Wir können nun sehen, was der Effekt ist, wenn wir diese Bedingungen in die Lösung unserer Feldgleichung einsetzen.
Wenn wir die harmonischen Bedingungen in dieser Raumzeit-Region untersuchen, bekommen wir einen Satz von Gleichungen,
der in den Notizen niedergeschrieben ist, Gleichung (6). Nun, wie ich schon vorhin bemerkt habe,
sogar mit den harmonischen Bedingungen gibt es noch einige Willkürlichkeit in unserem Koordinatensystem.
Wir können nun diese Frage stellen, lassen Sie uns eine Änderung in unserem Koordinatensystem machen, eine Änderung,
die die harmonischen Bedingungen erhält.
Ich möchte die Koordinaten nicht generell ändern, was die harmonischen Bedingungen stören würde.
Aber ich führe eine Änderung durch, die die harmonischen Bedingungen erhält.
Und eine solche Änderung ist durch die Gleichung (5) in den Notizen beschrieben.
Wo a-mü eine Feldfunktion ist, die die Änderung bestimmt.
Und a-mü muss die Wellengleichung erfüllen, die unmittelbar nach Gleichung (5) geschrieben steht.
Nun, der Effekt dieser Änderungen ist es, bestimmte Änderungen in all den zehn Größen h-mü-nü zu erzeugen.
Und diese Änderungen sind in den Notizen angegeben.
Ich brauche sie nicht im Detail zu beschreiben, aber ich möchte nur sagen, was das wichtige Resultat ist:
Wenn wir diese Änderung in den Koordinaten durchführen, finden wir, dass sechs der h-mü-nü invariant bleiben
und die anderen vier dieser zehn Größen können geändert werden und man kann sie willkürlich ändern.
Dinge, die man willkürlich ändern kann, wenn wir eine Änderung in unserem Koordinatensystem ausführen,
können keine physikalische Bedeutung haben.
So dass diese vier Komponenten von h-mü-nü, die willkürlich geändert werden, keine physikalische Bedeutung haben werden.
Da gibt es die sechs invarianten Komponenten und von diesen sechs müssen vier null sein,
wegen der harmonischen Bedingungen selbst.
Und es bleiben nur zwei übrig, die invariant sind und die nicht auf null beschränkt sind.
Und das sind die Komponenten h12 und h11 minus h22.
Wir können daher erwarten, dass diese zwei Komponenten eine physikalische Bedeutung haben.
Für Wellen, die sich in die Richtung der x3-Achse ausbreiten.
Diese sind invariant unter allen Transformationen, die wir machen können, die die harmonischen Bedingungen erhalten,
und sie sind nicht auf null beschränkt.
Nun, dies bedeutet dann, dass wir erwarten sollten, dass wir diese Gravitationswellen haben,
die physikalisch sind und dass wir diese zwei Typen der Polarisation für Gravitationswellen haben,
die sich in die Richtung der x3-Achse ausbreiten.
Die Frage bleibt: "Sollten diese Wellen wirklich als etwas Physikalisches zählen?"
Und das ist so ziemlich die Frage: "Transportieren diese Wellen Energie?"
So, das bringt uns zur Diskussion der Frage der Energie des Einstein'schen Gravitationsfeldes.
Für diese Diskussion der Energie kann man einen bestimmten Tensor oder Tensordichte aufstellen, T-mü-nü ,
die die physikalische Bedeutung hat, dass alle ihre Komponenten mit Spannungen und der Energiedichte,
der Impulsdichte verbunden sind.
Und eine ihrer Komponenten, die T-0-0 Komponente, kann als Energiedichte interpretiert werden.
Man stellt fest, wenn dieses T-mü-nü zu einem geeigneten Tensor addiert wird, der die Materie beschreibt,
es das Erhaltungsgesetz erfüllt, das dort in den Notizen aufgeschrieben ist.
So dass wir exakt die Energieerhaltung bekommen, wenn wir die Energiedichte als T-0-0 definieren.
Aber es gibt ein wenig Ärger mit diesem kleinen t.
Ich habe darüber als Tensordichte gesprochen, aber es ist nicht wirklich eine Tensordichte, es ist etwas,
was als Pseudotensordichte bezeichnet wird.
Weil es nicht richtig transformiert, um eine Tensordichte zu sein, wenn wir eine Änderung in den Koordinaten durchführen.
Und das bedeutet, wenn wir dieses T-0-0 als Energiedichte benutzen und wir die Energie in einer bestimmten Region ausrechnen,
dann bekommen wir eine unterschiedliche Energie, wenn wir eine Änderung in unserem Koordinatensystem durchführen.
Nun, Energie sollte etwas sein, das physikalisch ist, wir wollen, dass sie ein echtes physikalisches Ding ist.
Und sie sollte unabhängig sein von unserem Koordinatensystem.
Dieses T-0-0 ist wirklich das Beste, was wir tun können, um die Energiedichte zu diskutieren.
Und hier haben wir eine echte Schwierigkeit. Diese Schwierigkeit hat Leute für sehr viele Jahre gestört.
Und in der Praxis hat es zu einer Prozedur geführt,
wenn Physiker die Energie in Verbindung mit der Einstein'schen Theorie diskutieren wollen,
dann verwenden sie ein schönes Koordinatensystem.
Und sie nehmen an, dass dann, wenn die Energie mit diesem schönen Koordinatensystem berechnet wird,
sie irgendeine physikalische Bedeutung hat.
Aber das ist natürlich kein sehr logischer Prozess, es ist überhaupt nicht logisch und es ist unzuverlässig.
Und deshalb hat es über viele Jahre viele Diskussionen gegeben,
ob diese Gravitationswellen wirklich Energie transportieren oder nicht.
Nun, mit der Entwicklung der Gravitationstheorie, die in den vergangenen Jahren stattfand, wurde diese Frage geklärt.
Eine der Hauptlinien dieser jüngsten Entwicklung war es,
die Gleichungen der Einstein'schen Theorie in der Hamilton'schen Form auszudrücken.
Nun, die Hamilton'sche Form, Gleichungen zu schreiben, ist eine Form,
die eine sehr große mathematische Leistungsfähigkeit besitzt.
Sie wurde durch Hamilton vor über hundert Jahren entdeckt, der sie ausgearbeitet hat, einfach,
weil mit ihr eine große mathematische Schönheit einhergeht.
Und Hamilton selbst realisierte die Wichtigkeit seiner Form der Gleichungen nicht.
Aber wir sehen nun, dass seine Form in der Natur wirklich von fundamentaler Bedeutung ist,
weil seine Form der Gleichungen die Form ist, die sich für den Übergang zur Quantentheorie von Natur aus anbietet.
Wenn man nur von der Newton'schen Form der Bewegungsgleichungen aus arbeitet, hat man keinen guten Weg,
um zur Quantentheorie überzugehen.
Wenn wir mit der Hamilton'schen Form arbeiten, haben wir gut definierte Regeln, die in sehr vielen Fällen angewendet wurden,
um von irgendeiner klassischen Feldtheorie oder klassischen Teilchentheorie zu der entsprechenden Quantentheorie zu kommen.
Ein großer Teil des neuen Interesses an der Gravitationstheorie war damit beschäftigt,
eine Quantentheorie der Gravitation zu erhalten.
Und zu diesem Zweck muss man die klassische Theorie erst in die Hamilton'sche Form bringen.
Nun, bei der Hamilton'schen Form der Gleichungen behandelt man den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt bedeutet den Zustand für alle Werte der Koordinaten x1, x2, x3,
aber für einen bestimmten Wert für die Koordinate x0.
Nun sehen Sie, wenn wir den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt diskutieren,
führen wir eine Asymmetrie zwischen den vier Koordinaten ein.
Eines der großartigen Charakteristika der Einstein'schen Theorie war die Tatsache,
dass es eine Symmetrie zwischen den vier Koordinaten gab, den drei Koordinaten des Raums und der einen Zeitkoordinate.
Und für eine lange Zeit waren Leute nur darin interessiert, die Theorie Einsteins in einer Form zu entwickeln,
die diese Symmetrie erhält.
Erst während der letzten Jahre hat man gefunden, dass man eine Menge neuer Ergebnisse erhalten kann,
wenn man von dieser Symmetrie abweicht und besonders,
wenn man mit diesem Konzept eines Zustandes zu einem bestimmten Zeitpunkt arbeitet.
Wo wir von dieser vierdimensionalen Symmetrie komplett weggehen
und zurück gehen zu der alten Idee einer dreidimensionalen Welt, die sich mit einer Zeitkoordinate ändert.
Mit der Entwicklung der Hamilton'schen Form bekommen wir diese Arbeit, in der wir die vierdimensionale Symmetrie zerstören.
Natürlich ist es irgendwie schade, dass wir die vierdimensionale Symmetrie zerstören, jeder würde da zustimmen.
Aber es gibt diese Entschädigungen, dass man eine große mathematische Leistungsfähigkeit hat
und man einige neue Eigenschaften der Gleichungen findet, die nicht so offensichtlich sind,
wenn man bei der vierdimensionalen Symmetrie bleibt.
Mit der Hamilton'schen Form sind unsere dynamischen Variablen alle gepaart in dynamische Koordinaten und konjugierte Impulse.
Was das Gravitationsfeld betrifft, die G-mü-nü für alle Werte von x1, x2, x3 erscheinen als dynamische Koordinaten.
Und wir haben dann die Impulsvariablen P-mü-nü, die als die Konjugierten dieser dynamischen Koordinaten erscheinen.
Nun, was man als eines der ersten Dinge fand, als die Theorie in die Hamilton'sche Form gebracht wurde, man bekam etwas,
was ziemlich unerwartete war. Von den zehn Größen G-mü-nü und ihren konjugierten Größen P-mü-nü,
vier der G-mü-nü und ihrer konjugierten Größen fallen aus den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen heraus.
Das heißt diese vier: G-mü-0, P-mü-0.
Wenn einer dieser Indizes den Wert Null annimmt, entweder der erste oder der zweite, weil es symmetrisch ist,
dann bekommen wir diese Größen hier.
Und diese Größen fallen aus den Hamilton'schen Gleichungen heraus und wir behalten die Hamilton'schen Gleichungen übrig,
die nur die Variablen G-r-s, P-r-s enthalten.
Nun, diese lateinischen Buchstaben r und s nehmen die Werte 1, 2 und 3 an,
und man muss sie streng von den griechischen Buchstaben unterscheiden, die die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen.
Wir haben hier nur sechs G-r-s und sechs P-r-s anstelle von zehn G-mü-nü und P-mü-nü.
Und das bedeutet, mit der Hamilton-Formulierung beginnen wir damit, für jeden Punkt im Raum zehn Freiheitsgrade zu erwarten.
Aber vier der Freiheitsgrade fallen heraus, und übrig bleiben uns nur sechs Freiheitsgrade für jeden Raumpunkt.
Und das ist eine große Vereinfachung, die die Vorteile des Hamilton'schen Formalismus herausstellt.
Nun diese Vereinfachung sollte uns nicht zu sehr überraschen.
Man hätte das erwarten können, wenn man nur untersucht hätte, was wirklich benötigt wird,
den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt zu beschreiben.
Der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt bedeutet, den Zustand für alle Raumregionen für einen bestimmten Wert von x0.
Und in Raumzeit muss das als eine dreidimensionale Hyperfläche dargestellt werden.
Die Hyperfläche x0 gleich konstant.
Was so dargestellt werden muss, dass es in der vierdimensionalen Raumzeit existiert.
Um solch eine Hyperfläche zu beschreiben, benötigen wir nur die sechs G-r-s.
Sie genügen, um die Geometrie der Hyperfläche und das Koordinatensystem in der Hyperfläche zu beschreiben.
Und diese G-mü-0 werden nur benötigt, um die Beziehung dieser Hyperfläche zu einer benachbarten Hyperfläche zu beschreiben.
Aber wenn man nur daran interessiert ist, den Zustand zu einer bestimmten Zeit zu beschreiben,
dann benötigen wir nur diese sechs G-r-s und wir benötigen dazu ihre dynamischen konjugierten Größen.
So dass wir aus ziemlich allgemeinen Gründen, Gründen von geometrischer und kinematischer Natur, sehen können, dass alles,
was wir brauchen, wirklich diese sechs Freiheitsgrade sind.
Wenn wir diese physikalische Frage stellen, wie sollten wir die Energie zu einer bestimmten Zeit aufstellen,
dann scheint es klar zu sein, dass diese Energie nicht von irgendwelchen Variablen abhängen sollte, die nicht benötigt werden,
um den Zustand zu diesem Zeitpunkt zu beschreiben. Die Energie zu einer bestimmten Zeit
oder die Energiedichte in der Region zu einer bestimmten Zeit sollte nicht von diesen Variablen G-mü-0, P-mü-0 abhängen.
Nun, wenn wir uns die Energiedichte, die durch den Pseudotensor, dieses T-0-0, gegeben wird,
den wir vorhin hatten, ansehen und ihn ausrechnen, dann sieht man, dass T-0-0 von G-mü-0 abhängt.
T-0-0 beinhaltet daher einige Größen, die nicht wirklich relevant dafür sind, den Zustand zu einer bestimmten Zeit zu beschreiben.
Es beinhaltet gewisse Dinge, die nur mit dem Koordinatensystem zu tun haben.
Nun, das ist eine recht schlechte Eigenschaft dieser Energiedichte, dieser Pseudoenergiedichte.
Und wir können diese Eigenschaft verbessern, indem wir einen modifizierten Ausdruck für die Energiedichte nehmen.
Wir bekommen einen modifizierten Ausdruck für die Energiedichte, wenn wir dieses T-0-0 in einer geeigneten Weise ausdrücken
und die G-mü-0, die darin vorkommen, durch ihre Werte für eine ebene Raumzeit ersetzen;
d.h. wir ersetzen die G-0-0 mit dem Wert -1 und G-1-0, G-2-0, G-3-0 durch den Wert 0.
Mit dieser Prozedur können wir einen verbesserten Ausdruck für die Energiedichte bekommen.
Ein verbesserter Ausdruck, den ich W nenne. Nun, W hängt immer noch von unserem Koordinatensystem ab.
Aber nicht so schlecht wie T-0-0. Das bedeutet, wir haben es in Bezug auf diese Schwierigkeit
der Abhängigkeit der Energie von dem Koordinatensystem etwas verbessert.
Aber es sind noch Schwierigkeiten übrig. W ist immer noch abhängig von den drei Koordinaten x1, x2, x3.
Und weiter, wenn wir uns Dinge vom physikalischen Standpunkt aus anschauen wollen,
sollten wir W als definiert auf einer bestimmten Hyperfläche in Raumzeit betrachten.
Und wir können uns fragen: "Was passiert, wenn wir diese Hyperfläche nur etwas deformieren?"
Eine kleine Deformation von der Größenordnung von Gamma oder der Gravitationskonstante.
Was eine wirklich extrem kleine Deformation ist. Aber wir finden, dass mit dieser extrem kleinen Deformation,
W sich ändert um eine Größe von derselben Größenordnung wie es selbst.
Nun, da gibt es noch diese Schwierigkeit, aber es gibt einige nette Eigenschaften dieses Ausdrucks für die Energiedichte W.
Der Schwerkraftteil dieser Energiedichte kann in zwei Terme aufgespalten werden.
Es teilt sich sehr natürlich in zwei Terme auf. Diese sind durch die Gleichungen (8) und (9) gegeben.
Einer dieser Terme, den ich W Suffix K geschrieben habe, kann als kinetische Energie interpretiert werden,
weil er in den Impulskoordinaten p quadratisch ist. Er ist quadratisch und homogen in diesen Impulskoordinaten.
Und er ist so, wie jede normale kinetische Energie in der Physik ist.
So dass er sehr natürlich als kinetische Energie interpretiert werden kann.
Der andere Term beinhaltet überhaupt keine Impulsvariablen. Und den nennen wir die potentielle Energie.
Er ist quadratisch und homogen in den Feldgrößen, die wir erhalten, indem wir die erste Ableitung der hs bilden.
Der Schwerkraftteil der Energiedichte teilt sich in diese zwei Terme auf.
Der erste dieser Terme ist einer Unsicherheit unterworfen, wenn wir die Oberfläche ein wenig deformieren.
Aber er ist keiner Unsicherheit unterworfen, wenn wir die Koordinaten in der Oberfläche ändern.
In Bezug auf die Koordinaten in der Oberfläche hat er die korrekte Tensorform.
Bei dem anderen Teil, der potentiellen Energie, ist es genau anders herum.
Er verhält sich gut, wenn wir die Oberfläche ein wenig deformieren.
Aber er wird gestört, wenn wir die Koordinaten in der Oberfläche ändern.
Nun, das ist die Situation bezüglich dieses verbesserten Ausdrucks für die Energiedichte.
Und das zeigt, dass es in dem verbesserten Ausdruck für die Energiedichte immer noch einige Unsicherheit gibt.
Abhängig von unserem Koordinatensystem. Wir haben aber immer noch Schwierigkeiten in Bezug auf die Frage,
ob unsere Gravitationswellen wirklich Energie transportieren oder nicht.
Es gibt aber ein Beispiel, wo diese Schwierigkeiten eliminiert werden können.
Und das ist in dem Beispielfall, wenn wir Wellen haben, die sich nur in eine Richtung ausbreiten.
Wenn wir diese Ausdrücke für die Energiedichte auf den Fall anwenden, wenn es Wellen gibt,
die sich nur in eine Richtung ausbreiten, der Richtung der x3-Achse, dann bekommen wir die Ausdrücke,
die in den Gleichungen (12) und (13) aufgeschrieben sind.
Das ist sowohl die potentielle wie auch die kinetische Energie ....